罗素悖论与第三次数学危机

1、悖论在当代逻辑中获得了新的作用，它们导致了新定理的发现(通常是负面的结果，例如不可证明性和不可判定性)。逻辑的几个基本概念发展过程,之所以已经到了目前的状态，通常是得益于解决悖论的各种尝试。对于集合(set)和类(collection)的概念，标准古典逻辑的基本句法和语义概念(给定顺序的逻辑语言，可满足性，可定义性的概念)出现而言，尤其如此。

2、00公元前5世纪，毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯(470B.C.前后)发现：等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的，它们的比不能归结为整数或整数之比。

3、也许正是因为这件事，希尔伯特动起了为整个数学寻求一个坚实基础的念头，于是经过多年在不同数学领域富有成果的涉猎后，希尔伯特将目光投向了整个数学。对平面几何学的严格公理化，可能是他在这方面的第一个尝试，但他的思考绝不仅限于几何。他的目标是将整个数学体系严格公理化，然后用元数学，也就是“证明数学的数学”，来证明整个数学体系是坚实的。

4、   其实，在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。早在1897年，布拉利—福尔蒂已公开发表了最大序数悖论。1899年康托尔本人也发现了最大基数悖论。当时因为这两个悖论牵涉到较为复杂的理论，人们认为可能是由于在其中某些环节处不小心引入的一些错误所致，人们对消除这些悖论也是乐观的，所以它们只是在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注意。但罗素悖论则不同，这一悖论相当简明，而且所涉及到的只是集合论中最基本的方面，以致几乎没有什么可以辩驳的余地，这就大大动摇了集合论的基础。  为了消除悖论，许多科学家开始分析悖论产生之因，寻求解决方案，他们规划了两种解决途径，其一是将整个集合论抛弃，把数学建立在别的理论基础上；其二是对康托尔的集合论加以改造，将集合论公理化。经过探索，他们选择了第二条解决途径。

5、当然，罗素在数学上最叫人记住的，不是他的深奥理论，而是他发现了集合论的矛盾，现在也叫做罗素悖论。这个悖论甚至引发了第三次数学危机，可见其影响程度之深。

6、为了建立极限理论的基本定理，不少数学家开始给出无理数的严格定义。

7、罗素悖论以及***论中其它一些悖论，深入到***论的理论基础之中，从而从根本上危及了整个数学体系的确定性和严密性。

8、比如说这样一个命题：π中含有任意长度的连续数字如果我们接受排中律的话，这个命题非真即假。但无论这个命题是真是假，我们都无法在实际上验证，因为要验证这个命题，我们都要将π无穷地计算下去，而这是不可能做到的。所以，人们对于将排中律用到这种无穷的情况仍有顾虑，因为这不是人们的直觉所能掌握的范围。

9、德国数学家弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了，罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”

10、在数学的历史上，曾有过三次非常重大的危机，而这看似是危机，其实都很大程度地完善了数学理论，推动了数学的发展。

11、危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。

12、然而，事隔不到两年，英国著名数理逻辑学家和哲学家罗素(1872—1970)即宣布了一条惊人的消息：***论是自相矛盾的，并不存在什么绝对的严密性！史称“罗素悖论”。

13、哥德尔一生在科学上取得了辉煌的成就，他证明了一阶谓词演算的完全性算术形式系统的不完全性，连续统假设和集合论公理的相对协调性等三大难题，被公认为人类历史上继亚里士多德和莱布尼兹之后最伟大的逻辑学家。他独辟蹊径的研究成果犹如智者的棒喝，断然终结了数学家追求绝对可靠的数学基础的幻想"但也使人们对无穷的认识达到了一个更高的境界。他说：“数学不仅是不完全的，还是不可完全的。”结语我们在这里看到数学的矛盾和争论，看到反复斟酌的公理。有人疑惑到底这些公理对不对？到底是信仰还是事实，在矛盾之中，哪个是真理？这是对数学不理解了，数学的研究是从一些非常基本的假设中，应用逻辑来看能够走多远，能够得到什么有用的结论。这些假设只要是自洽的，无关对错，只关是否有用，能否在应用时被接受。构成数学体系称为公理的假设，很多是非常基本近乎定义性的同语反复。还有一些公理被引入，是为了修补支撑已在实践中被广泛应用的数学结果和工具。被排斥的一些公理，不是因为错了，而是假设太强了，在这假设下得不到足够广泛有用的结果。

14、但是，自此以后希腊人把几何看成了全部数学的基础，把数的研究隶属于形的研究，割裂了它们之间的密切关系。这样做的最大不幸是放弃了对无理数本身的研究，使算术和代数的发展受到很大的限制，基本理论十分薄溺。这种畸形发展的局面在欧洲持续了2000多年。

15、由此看来，希帕索斯悖论是由于主观认识上的错误而造成的。

16、可以看到，“悖论”是矛盾等价式，且具备以下三个要素：

17、而成為了它的代替品的就是我們今天用的zfc。

18、没人会怀疑哥德巴赫猜想猜想在数学研究上的意义，哪怕这个命题看起来如此地枯燥，甚至独一无二。在解决过程中，这个问题的许多创造性想法，其实在别的地方几乎都不会用到，等于这个问题在数学上太过高冷，不愿意跟别的猜想产生瓜葛，自然哥德巴赫猜想最后就算解决了，也只是小范围的绚烂，不会对整个数论体系有太大的影响。我们在解决这个问题的过程中收集的线索，以及创造的方法， 都将留下人类的智慧杰作上。

19、1902年，罗素提出了一个著名的理发师悖论。在一个村子里有一位理发师，他只给那些不给自己理发的人理发，那么问题来了，这个理发师给不给自己理发呢？如果他给自己理发，那么这就违背了他只给那些不给自己理发的人理发这条原则；如果他不给自己理发，那么他自己就在他要去理发的那群人当中，这样也违反了他做理发师的原则。

20、罗素悖论的发现，无异于晴天劈雳，把人们从美梦中惊醒。

21、“ε—δ”方法的提出和应用于微积分，标志着微积分算术化的完成。

22、   第一次危机是古希腊时代，由于不可公度的线段——无理数的发现与一些直觉的经验相抵触而引发的；

23、英国大主教贝克莱于1734年写文章，攻击流数(导数)“是消失了的量的鬼魂……能消化得了二阶、三阶流数的人，是不会因吞食了神学论点就呕吐的。”他说，用忽略高阶无穷小而消除了原有的错误，“是依靠双重的错误得到了虽然不科学却是正确的结果”。贝克莱虽然也抓住了当时微积分、无穷小方法中一些不清楚不合逻辑的问题，不过他是出自对科学的厌恶和对宗教的维护，而不是出自对科学的追求和探索。

24、布劳威尔不认同，他坚持认为第三种情况是存在的。

25、 不过，落到每一条上，具体来看，也很有意义.下面我们将具体分析芝诺悖论每一条存在的问题：

26、有理数有一种简单的几何解释。在一条水平直线上，标出一段线段作为单位长，如果令它的定端点和右端点分别表示数0和则可用这条直线上的间隔为单位长的点的集合来表示整数，正整数在0的右边，负整数在0的左边。以q为分母的分数，可以用每一单位间隔分为q等分的点表示。于是，每一个有理数都对应着直线上的一个点。

27、  第三次危机是当罗素发现了集合论中的悖论，危及整个数学的基础而引起的。

28、00发现和提出悖论并加以研究，对于数学基础、逻辑学和哲学都有重要意义。

29、第三次数学危机是罗素悖论，这里要先提到一个人叫康托尔，十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，  而且这一开创性成果被广大数学家所接受了，获得广泛而高度的赞誉。可是，好景不长。1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素悖论提出之后，简直是将整个数学大厦都动摇了，当时著名的数学家弗雷格正在写一本书，叫《算术的基本法则》，这本书刚要出版，就听说了罗素的这一悖论，当时他感叹道：“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”

30、数学的发展就经历过三次关于基础理论的危机。

31、波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。

32、19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。

33、第三次数学危机产生于十九世纪末和二十世纪初，当时正是数学空前兴旺发达的时期。首先是逻辑的数学化，促使了数理逻辑这门学科诞生。19世纪后半叶，作为分析严格化的最高成就—康托尔首创的集合论成为现代数学的基础，不仅建立起来，而且被越来越多的数学家所接受、所应用。法国大数学家庞加莱骄傲地宣称：“借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦。现在我们可以说，完全的严格性已经达到了。”此时，数学王国里春光明媚，阳光和煦，一派太平景象。2起源

34、 漫画|李政道和杨振宁是如何获得诺贝尔奖的？

35、00为了解决第三次数学危机，数学家们作了不同的努力。

36、 天真集理論(naive set theory)

37、正如***论的悖论，特别是罗素悖论成为逻辑和数学相容性形式化的起点一样，撒谎者悖论及其语义学悖论导致了理论语义学的发展。”

38、美国著名数学家冯·诺伊曼说过：“哥德尔在现代逻辑中的成就是非凡的、不朽的——它的不朽甚至超过了纪念碑，它是一个里程碑，在可以望见的地方和可以望见的未来中永远存在的纪念碑”。

39、   1900年，英国数学家和哲学家罗素在巴黎见到意大利数学家皮亚诺，他发现皮亚诺比其他任何人都严格，并且认定这是他的数理逻辑所致。因此，罗素潜心研究皮亚诺及其学生的著作，并且认定他的符号正好是自己寻求多年的、可以用来进行逻辑分析的工具。接着罗素开始打算从逻辑推出全部数学来，开始他还觉得顺利，但是不久就遇到了问题。康托尔曾经证明过不存在最大的基数，罗素对此有些疑惑，认为以世界上所有的集合为元素构成的集合应该是最大的(因而具有最大基数)，这样他就发觉其中有些矛盾，开始的时候他也觉得这件事也许没什么大不了的，也许是在什么地方绕住了，但是他左思右想仍无法绕过来，结果产生了著名的罗素悖论，引起了关于数学基础的新的争论，从而造成了数学史上更为严重的关于数学基础的第三次危机。